コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは，システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。
・伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。 ・伝票データをためる数に制限はない。 ・1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う。
平成30年度 秋期 応用情報技術者 問2
テクノロジ系
正解と解説
正解 イ
M/M/1の平均待ち時間は ρ/(1−ρ)×平均処理時間です。これがT以上になるのは、ρ/(1−ρ)≧1、つまり利用率が50%以上のときです。
M/M/1モデルでは、利用率をρ、平均処理時間（平均サービス時間）をTsとすると、平均待ち時間はρ/(1−ρ)×Tsです。Ts=T秒なので、平均待ち時間がT秒以上となる条件はρ/(1−ρ)×T≧Tです。これを整理するとρ/(1−ρ)≧1となり、ρ≧1−ρからρ≧0.5が得られます。したがって、利用率が50%以上のときに平均待ち時間がT秒以上になります。
ア：利用率33%ではρ/(1−ρ)=0.33/0.67≒0.5です。平均待ち時間は約0.5T秒で、T秒に届きません。
ウ：利用率67%ではρ/(1−ρ)≒2です。平均待ち時間は約2T秒となり、T秒以上になり始める境目ではありません。
エ：利用率80%ではρ/(1−ρ)=4です。平均待ち時間は4T秒で、境目となる最小の利用率ではありません。
出典：平成30年度 秋期 応用情報技術者試験 問2
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出典：平成30年度 秋期 応用情報技術者試験 問2（独立行政法人情報処理推進機構）
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