コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1 の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間が T 秒以上となるのは，処理装置の利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。
・伝票データは，ポアソン分布に従って発生する。 ・伝票データのたまる数に制限はない。 ・1 件の伝票データの処理時間は，平均 T 秒の指数分布に従う。
平成26年度 秋期 応用情報技術者 問3
テクノロジ系
正解と解説
正解 イ
M/M/1の平均待ち時間は「ρ/(1−ρ)×平均処理時間」です。これがT秒以上になるのは、ρ/(1−ρ)≧1、つまり利用率が50%以上のときです。
M/M/1モデルでは、利用率をρ、平均処理時間をTsとすると、平均待ち時間は ρ/(1−ρ)×Ts です。この問題では Ts=T 秒なので、平均待ち時間は ρ/(1−ρ)×T 秒になります。これがT秒以上になる条件は ρ/(1−ρ)≧1 です。式を整理すると ρ≧1−ρ となり、ρ≧0.5 が得られます。したがって、利用率が50%以上のときに平均待ち時間はT秒以上になります。
ア：利用率33%のとき、ρ/(1−ρ)は約0.5です。平均待ち時間は約0.5T秒で、T秒に届きません。
ウ：利用率67%のとき、ρ/(1−ρ)は約2です。平均待ち時間は約2T秒になります。T秒以上になり始めるのはもっと低い利用率からです。
エ：利用率80%のとき、ρ/(1−ρ)は4です。平均待ち時間は4T秒になります。T秒以上になり始めるのはもっと低い利用率からです。
出典：平成26年度 秋期 応用情報技術者試験 問3
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出典：平成26年度 秋期 応用情報技術者試験 問3（独立行政法人情報処理推進機構）
解説と用語ページは生成 AI が書き、別の生成 AI が確かめています。作り方